Avantage du casino et espérance de perte

L’avantage du casino, aussi appelé avantage de la maison ou house edge, est un indicateur mathématique. Il exprime le résultat moyen théorique favorable à la maison, rapporté à la base de mises retenue pour le calcul. La Gambling Commission le décrit comme la part que le casino peut s’attendre à conserver en moyenne suivant le fonctionnement du jeu et les comportements de jeu de référence.

Le pourcentage résulte de deux éléments qui doivent être examinés ensemble. La probabilité d’un résultat indique à quelle fréquence il peut survenir. Le paiement indique ce que ce résultat rapporte ou fait perdre. Un jeu peut proposer des gains fréquents tout en conservant une espérance négative pour le joueur.

Le taux ne dit donc pas à quelle fréquence vous perdrez. Il ne suffit pas non plus pour calculer vos chances de terminer une session avec un bénéfice. Pour cela, il faudrait notamment connaître les mises, le nombre de parties et les règles d’arrêt.

La roulette permet de suivre le raisonnement sans dépendre d’un pourcentage annoncé. La roulette française comporte 36 numéros et un zéro. Pour le calcul, nous considérons une roulette équitable dont les 37 cases ont la même probabilité de sortie.

Une mise sur un numéro plein rapporte 35 fois la mise lorsqu’elle gagne. Le joueur conserve aussi sa mise initiale. Avec 1 € comme unité de calcul, le paiement total atteint donc 36 €, pour un bénéfice net de 35 €. Ce montant de 1 € ne désigne pas un minimum de table.

La différence tient au paiement. Avec une chance sur 37 de gagner, il faudrait un bénéfice net de 36 € pour une mise gagnante de 1 € afin d’obtenir une espérance nulle. Le paiement réglementaire est de 35 € nets. Cet écart suffit à produire l’avantage calculé.

Ce mécanisme reste compatible avec un tirage équitable. Un résultat peut être aléatoire et les paiements défavorables en moyenne au joueur. De même, la possibilité de vérifier certains éléments d’un résultat grâce au provably fair n’efface pas l’avantage inscrit dans les règles.

Lorsque le volume de mises est fixé et que l’avantage reste identique, le calcul est direct.

Pour un volume fixé à 1 000 € de mises sur le plein étudié, le calcul exact donne 1 000 € × 1/37 ≈ 27,03 €. C’est la moyenne théorique des pertes nettes dans les conditions retenues. Une session particulière peut produire un résultat très différent.

Compter les mises, pas seulement les dépôts

Les mises cumulées additionnent chaque somme engagée dans un pari. Les gains rejoués en font partie. La définition du turnover donnée par la Gambling Commission inclut explicitement ces sommes réinvesties.

Un dépôt de 100 € ne permet donc pas de déduire un volume de mises de 100 €. La même somme peut servir à plusieurs paris lorsqu’elle revient dans le solde. Inversement, une somme déposée mais laissée sur le compte ne constitue pas une mise.

Le montant d’un dépôt renseigne sur un mouvement d’argent. Le volume misé renseigne sur l’exposition répétée aux règles du jeu. C’est ce second montant qui sert au calcul.

Le lien avec le RTP

Quand le RTP et l’avantage sont définis pour le même jeu, les mêmes règles, les mêmes choix de référence et la même base de mises, ils sont complémentaires. Avantage du casino = 100 % − RTP théorique. Les paiements utilisés pour le RTP doivent inclure les mises rendues lors des gains, comme dans la colonne « Paiement total reçu » du tableau.

Cette relation ne permet pas de prendre n’importe quel taux affiché pour n’importe quelle variante. Certains jeux intègrent des décisions du joueur. Les standards britanniques prévoient alors une stratégie de référence pour le calcul du retour théorique.

Notre dossier sur le RTP et ses limites développe la lecture du taux annoncé et sa différence avec le rendement observé.

Le nom d’un jeu ne suffit pas à établir un pourcentage applicable à tous ses paris. Le traitement d’un résultat particulier peut modifier le calcul. Le zéro de la roulette en donne un exemple précis.

Sur une chance simple comme rouge ou noir, les règles de la roulette française permettent de récupérer la moitié de la mise lorsque le zéro sort. Elles prévoient aussi une option de mise en prison. Pour le calcul ci-dessous, nous retenons uniquement le remboursement immédiat de la moitié.

Avec une mise de 1 € sur rouge et 37 cases équiprobables, les résultats nets possibles sont +1 € sur les 18 cases rouges, −1 € sur les 18 cases noires et −0,50 € sur le zéro.

E(résultat net) = (18/37 × 1 €) + (18/37 × −1 €) + (1/37 × −0,50 €) = −1/74 €.

L’avantage vaut alors 1/74, soit environ 1,35 %. Si la mise entière était perdue au zéro, il vaudrait environ 2,70 %. Cette seconde règle ne doit pas être attribuée indistinctement à toutes les roulettes.

Le calcul du plein et celui du partage utilisent ainsi la même roue, mais des paris et des paiements différents. Ils ne suffisent pas à classer tous les jeux de casino ni à attribuer un taux unique au blackjack ou aux machines à sous.

Les règles citées ici concernent les casinos terrestres français. Les casinos en ligne ne sont pas autorisés en France. Une licence étrangère ne constitue pas une autorisation française.

Oui, si le volume total misé augmente suffisamment. La comparaison doit porter sur le taux et sur son assiette.

Les deux lignes suivantes reprennent les paris documentés plus haut. Les volumes sont choisis pour la démonstration, fixés à l’avance et ne décrivent pas des sessions observées. Chaque ligne suppose un seul type de pari, un taux constant et l’absence de frais supplémentaires.

Dans la seconde ligne, le taux est divisé par deux tandis que le volume est multiplié par quatre. La perte moyenne théorique double. Le pourcentage plus faible ne suffit donc pas à établir que le coût total sera plus faible.

À volume identique, un avantage inférieur réduit bien l’espérance de perte. La difficulté apparaît lorsque la comparaison change aussi le montant total misé. C’est pourquoi je préfère toujours lire ces deux données ensemble avant de commenter un taux présenté comme faible.

Ces calculs n’indiquent pas qu’une session coûtera exactement 13,51 € ou 27,03 €. Ils n’autorisent pas non plus à engager ces volumes en supposant que la perte restera proche de la moyenne.

Une moyenne ne décrit pas la trajectoire de chaque joueur. La Gambling Commission rappelle qu’un RTP ne correspond pas à ce que l’on doit attendre d’une session individuelle. La même limite s’applique à la perte théorique calculée à partir de ce taux.

Le montant obtenu n’est pas un plafond. Une perte de 100 € ne contredit pas, à elle seule, un calcul qui donne une moyenne théorique de 27,03 €. Un bénéfice ponctuel ne l’invalide pas davantage. Le calcul porte sur l’ensemble des résultats possibles dans ses conditions, avec leurs probabilités.

Il ne donne pas non plus le résultat le plus fréquent ou le résultat médian, situé au milieu des résultats classés. Pour connaître ces valeurs, il faudrait examiner la distribution complète des gains et des pertes.

Enfin, il ne permet pas de déduire combien de temps un budget tiendra. Les mises peuvent varier, une session peut s’arrêter après un gain, une perte ou l’épuisement du solde. Un volume fixé pour une démonstration ne décrit pas automatiquement ce fonctionnement.

Si vous appliquez un taux à un volume constaté après avoir joué, vous obtenez un repère théorique associé à ce volume. Vous ne reconstituez pas votre perte réelle. Celle-ci se mesure à partir des mouvements d’argent et du solde.

Les limites de budget doivent donc porter sur les sommes que vous pouvez effectivement perdre. La moyenne théorique ne remplace pas une limite personnelle.